● 摘要
稀疏表示是非线性逼近中的核心问题之一. 众所周知, 小波拥有时频局部化的特征, 非常适合分析非平稳信号. 特别是对一维分段光滑信号, 小波变换能够提供最优稀疏逼近. 然而对于高维信号, 例如二维图像, 小波无法提供良好的稀疏表示. 因此, 如何克服小波变换的弊端, 寻找更有效的图像表示工具就成为了小波分析与数字图像处理中的研究热点之一.
许多学者提出了多种解决途径. 例如, 小波提升变换. 提升结构可用于构造具有自适应的小波变换, 然而受限于小波基是正交/双正交的, 此类变换不具备冗余性. 此外, 亦有学者提出了一些具有各向异性多尺度变换, 例如曲波、轮廓波、剪切波等等. 这些变换的基函数均构成L2(R2)中的框架, 但由于变换是全局的, 不具备自适应性.
本文研究基于对偶小波框架的各向异性提升变换, 目的是提供一种新的图像表示和变换工具, 使其具有以下特征:
(1) 多分辨性: 能够由粗到细渐进地表示图像;
(2) 局部自适应性: 能够根据图像的局部特征自适应选择变换核;
(3) 各向异性: 能够反映图像的纹理边缘信息, 并加以利用, 实现稀疏表示;
(4) 冗余性: 构成L2(R2)中的对偶框架.
具体地, 本文工作围绕以下三点开展:
一、通过n个Laurent多项式的欧几里得算法, 建立对偶小波框架提升分解理论, 为研究对偶框架提升变换提供理论指导和依据. 提升分解理论涵盖三个方面, 即两尺度两小波对偶框架、两尺度多小波对偶框架以及任意尺度多小波对偶框架. 以提升分解理论为基础, 本文详细讨论参数化对偶框架的构造方法. 特别地, 针对两尺度两小波对偶框架和两尺度多小波对偶框架, 本文提出基于广义Bernstein多项式的提升构造方法, 使得框架小波具有对称性. 此外, 本文提出提高至任意阶消失矩的提升算法. 所有构造方法均辅以实例说明.
二、在二维可分离情况下, 提出具有平移不变性的各向异性框架小波提升变换—–TIDFT, 并用于图像去噪研究. TIDFT最大特点在于具有自适应方向选择能力的预测与更新算子. 结合基于Gabor滤波的自适应方向预测算法, 在噪声情况下, TIDFT能够有效捕捉图像的本质特征, 从而将纹理与噪声剥离开来, 更有利于去噪. 此外, 综合考虑框架小波系数的邻域相关性与父子相关性, 本文建立两类多维框架小波系数指数分布模型, 并利用最大后验估计得到无噪系数的最优估计. 实验结果证实本文提出的算法要优于目前学术界主流的基于多尺度变换的去噪算法, 并接近三维块匹配算法(BM3D)达到的效果.
三、在二维不可分情况下, 提出各向同性对偶小波框架提升变换—–NFLT与各向异性对偶小波框架提升变换—–AFLT, 并将两类变换用于多光谱与全色图像融合研究. 在多光谱与全色图像融合问题中, 关键技术难点在于如何有效分离全色图像的中低频分量与高频分离. 本文利用框架小波消失矩来解决这一问题. 在NFLT构造过程中, 引入尺度化Neville滤波器, 使得变换具有指定消失矩; 在AFLT构造过程中, 提出方向Neville滤波器, 在保持消失矩的同时获得自适应方向预测. 此外, 为建立融合准则, 本文将融合过程视为估计问题, 利用协方差交叉算法(CI), 得到融合系数的一致线性估计. 实验结果证实NFLT-CI与AFLT-CI算法在提升空间分辨率的同时能够明显降低光谱误差, 融合结果优于目前其他主流全色锐化算法.