福建师范大学2006数学分析及答案考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
《数学分析》复试题及答案
1. 设f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续，且满足∫a f (t ) dt ≥∫a g (t ) dt ，x ∈[a , b ) . (1)问：这时对任意x ∈[a , b ) 是否都成立f (x ) ≥g (x ) ？请证明或举例说明你的结论.
(2)若还满足∫a f (t ) dt =∫a g (t ) dt ，试证：∫a xf (x ) dx ≤∫a xg (x ) dx .
答(1)：这时对任意x ∈[a , b ) 不一定都成立f (x ) ≥g (x ) . 例如, 取
f (x ) =1−x , g (x ) =0, x ∈[0,1.1)，则对任意x ∈[0,1.1)都有
b
b
b
b
x
x
∫
x
f (t ) dt ≥∫g (t ) dt =0. 但f (1.01)=1−1.01=−0.01<0=g (1.01).
x
x
证明(2)：令F (x ) =f (x ) −g (x ) ，G (x ) =∫a F (t ) dt ， 由题设知G (x ) ≥0, x ∈[a , b ],G (a ) =G (b ) =0, G ′(x ) =F (x ) . 从而∫a xF (x ) dx =∫a xdG (x ) =xG (x ) b a −∫a G (x ) dx =−∫a G (x ) dx . 由于G (x ) ≥0, x ∈[a , b ]，所以−∫a G (x ) dx ≤0，即∫a xF (x ) dx ≤0， 故∫a xf (x ) dx ≤∫a xg (x ) dx .
2. 请叙述微分中值定理、定积分中值定理、微积分基本定理。并证明：若f (x ) 和g (x ) 均在(a , b ) 可微，且f ′(x ) =g ′(x ) ，则f (x ) 和g (x ) 在(a , b ) 中至多相差一个常数c ，即f (x ) =g (x ) +c . 答：（1）微分中值定理有3个：
Roll 定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 可微，且
f (a ) =f (b ) ，则至少存在一点ξ∈[a , b ]，使得f ′(ξ) =0.
b
b
b
b
b
b
b
b
Lagrange 中值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 可微，则至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得f ′(ξ) =
f (b ) −f (a )
.
b −a
Cauchy 中值定理：设f (x ) 和g (x ) 都在闭区间[a , b ]上连续，在开区间
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