北京师范大学专业基础(数学分析和高等代数)2006年考研试题研究生入学考试试题考研真题
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北京师范大学
2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：专业基础（数学分析、高等代数）
1. 当a 、b 为何值时，下列线形方程组有解，并求解：
ax 1+ (b +1) x 2+ 2x 3=1
ax 1+(2b +1) x 2+ 3x 3=1
ax 1+ (b +1) x 2+(b +4) x 3=2b +1
2. V是n 维的线形空间，、V 1、V 2是V 的子空间，且V 1、V 2的维数相等，证明存在一个子空间W ，使得V =V 1⊕W =V 2⊕W 。
3. 证明：（1）若A 是可逆矩阵，则AA ′是正定矩阵。
（2）若A 是对称矩阵，证明存在一个实数s ，使得矩阵I n +sA是正定矩阵。
4. A 、B 是n 阶矩阵，证明：
（1） 秩（A －ABA ）=秩A+秩(In －BA) －n
（2） 若A+B=In , 且秩A+秩B=n,则A 2=A,B2=B,且AB=0=BA
5. 若0< x1<1,0<α<1,数列{xn }满足关系式：x n+1=1-(1- xn ) , 求lim x n 及lim x →∞αx n 1 x →∞x n
6．求I
7．函数f (x ) ∈C [−1,1], 且有=∫∫e −(x R 22−xy +y 2) dxdy ，其中R 2表示整个平面。 11∫−1f (x ) dx =0 , ∫xf (x ) =0，证明：至少存在两个不同元−1
ξ , η∈(−1,1)，使得f (ξ)=f (η) =0
8．函数g (x ) ∈C [0,1], g (1)=0, 且g ′(1)=0(g ′(1)可理解为左导数) ，证明：
[0，1]上一致收敛。
9．f 在R 上有二阶连续偏导，∀(x , y , z ) ∈R ，记f 在B r (x , y , z ) (r >0) 上的第一型曲面33∑x g (x ) 在n n =0∞