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南 京 财 经 大 学

2009年攻读硕士学位研究生入学考试(初试) 试卷 考试科目： 818高 等 代 数

适用专业： 应 用 数 学

考试时间： 2009年1月 11 日下午2：00—5：00

注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效. 1. (15分) 计算n 阶行列式

1

2

D n =3

L

n 234L 1345L 2L L L L L n 12. L n -1

2. (15分) 设f (x ), g (x ) 为数域P 上的两个多项式, m 为给定的正整数. 若f m (x ) g m (x ), 则f (x ) g (x ).

3. (20分) 已知方程组

ìì3x 1-x 2-x 3=3, x 3-2x 4=1-t , ïïïïïï(I)í4x 1-x 2-x 3-x 4=1, (II)íx 1+mx 2-x 3-x 4=-5, ïïïï260, x +x -x +=ïï124ïïîînx 2-x 3-2x 4=-11,

(1) 求方程组(I)的通解；

(2) 确定m , n , t 的值，使方程组(I)与(II)同解.

4. (25分) 设A, B为n 阶方阵, E 为n 阶单位矩阵. 证明:

(1) 若AB = 0, 则 秩( A ) + 秩( B ) ≤ n .

(2) 若A 2 = E , 则 秩(A -E ) + 秩(A +E ) = n . 第 1 页 共 2 页