● 摘要
线性算子谱理论一直以来就是算子理论中的一个重要研究课题和热门 分支, 它在量子力学、现代科学技术和近代物理学等学科中有着重要的理论价值和 应用价值. Weyl 型定理是近二十年来线性算子谱理论中的一个比较活跃的研究方 向, 而单值延拓性质在 Weyl 型定理的研究中发挥着重要作用. 本文主要利用算子 谱理论的技巧研究了 Weyl 型定理的判定及其稳定性. 研究内容包括广义 (ω) 性质 的判定, Weyl 型定理和算子循环性之间的关系, 算子矩阵的广义 (ω) 性质, 单值延 拓性质及 Weyl 型定理的稳定性四个方面. 全文共分五章:
第一章简述了本文的历史背景及研究现状, 给出了文中要用的一些符号和概 念, 并列举了本文的一些主要结论.
第二章根据 Saphar 性质和 Kato 性质定义了新的谱集, 用该谱集给出了 Banch 空间上有界线性算子同时满足广义 (ω) 性质和广义 a-Weyl 定理的充要条件, 之后 分别利用单值延拓性质和一致 Fredholm 指标算子性质研究了广义 (ω) 性质.
第三章运用代数?仿正规算子谱集的特点研究了代数?仿正规算子的 Weyl 型 定理及超循环性, 之后考虑了广义 (ω) 性质与亚 (超) 循环性之间的关系.
第四章根据对角线上算子 A 和 B 的拓扑一致降标的特征, 给出了算子矩阵满 足广义 (ω) 性质的充要条件.
第五章研究了单值延拓性质及 Weyl 型定理的稳定性. 首先根据算子的一致 Fredholm 指标算子性质研究了单值延拓性质的稳定性, 然后根据算子广义 Kato 预 解集的特征研究了 Weyl 型定理的稳定性.
本文所取得的研究成果分为以下 7 个方面:
(1) 讨论了广义 (ω) 性质和广义 a-Weyl 定理之间的关系, 给出了有界线性算 子同时满足广义 (ω) 性质和广义 a-Weyl 定理的充要条件.
(2) 分别利用单值延拓性质和一致 Fredholm 指标算子性质, 给出了算子满足 广义 (ω) 性质的等价刻画.
(3) 根据对代数?仿正规算子的讨论, 研究了代数?仿正规算子的 Weyl 型定 理及循环性.
(4) 通过新定义的谱集研究了广义 (ω1) 性质及广义 (ω) 性质, 并讨论了满足广义 (ω1) 性质的算子的亚 (超) 循环性.
(5) 根据对角算子 A 和 B 的拓扑一致降标的特征研究了算子矩阵的广义 (ω) 性质.
(6) 利用一致 Fredholm 指标算子性质研究了单值延拓性质在紧扰动下的稳 定性.
(7) 根据算子广义 Kato 预解集的特征研究了 Weyl 型定理在紧扰动下的稳定 性.