2017年南京邮电大学理学院814高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2．
设
所以向量组
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
线性无关.
的一组基, 则由
基
到
基
线性无关.
【答案】（A ）
3． 设是非齐次线性方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
故选B.
5． 设A 为4×3矩阵，常数，则
从而否定A ,
若选
中选三个向量组
从而否定C ,
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于
是非齐次线性方程
组
的三个线性无关的解，所
以
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
又显然有基础解系.
考虑到
（否则与是
，所以有解矛盾）从而是的一个
的一个特解，所以选C.
二、分析计算题
6． 设B 是实数域上
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
由于
的一个内积，从而成为欧氏空间.
7． 由
所以
由上可知，
定义了
上
矩阵，
对任一大于0的常数n , 证明
定义了
单位矩阵.
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示
证明：奇偶排列各半. 【答案】由于则上述行列式
半.
8． 设A 为非零矩阵，但不必为方阵，证明矩阵.
【答案】设A 为
如果
有解
矩阵
.
为奇排列时而偶排列时为1. 设有k 个奇排列和1个偶排列，
故
即奇偶排列各占一
有解当且仅当必有其中E 为单位