青岛大学615数学分析2009考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
青岛大学2009年硕士研究生入学考试试题 科目代码： 615 科目名称：数学分析 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
1. (本题满分30分) 求下列极限： π1(1) lim tan n (+; n →∞4n
12n (2) lim(2; ++L L +n →∞n +122n +n +2n
(3) lim x →0a tan x +b (1−cos x ) a 1ln(1−x ) +b 1(1−e x ) 2, 其中 a 2+a 12≠0.
2. (本题满分10分) 解下列各题:
(1) 试画出一导函数f ′(x ) 的图形(非常数), 并据此导函数的图形简单画出函数f (x ) 的图形;
(2) 试用某一物理意义解释拉格朗日微分中值定理.
3. (本题满分10分) 利用确界原理证明: 若单调递减实数列{x n }有下界, 则数列{x n }收敛, 且 lim x n =a , 其中 inf{a =x n }. n →∞
4. (本题满分15分) 设方程2x −tan(x −y ) =∫
d 2y 的函数, 求2. dx x −y 0sec 2tdt , x ≠y 确定了y 是x
5. (本题满分15分) 设函数f (x ) 和g (x ) 均在有限区间[a , b ]上连续, 且g (x ) 不变号. 证明:至少存在一点ξ∈[a , b ], 使得 ∫b
a f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ∫g (x ) dx . a b
6. (本题满分15分) 证明:广义积分∫
+∞1+∞|cos x |cos x dx 发散. dx 收敛, 而∫1x x 1
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