● 摘要
众所周知, Sturm-Liouville 问题起源于对固体热传导模型的处理. 其理论应用广泛, 主要包括数学物理、工程技术、气象物理及其它理论和应用学科. 因此, 一个多世纪以来, 常微分算子已逐步形成数学及物理学领域的一个重要研究分支. 本文通过微分方程基本解的高阶展开式, 研究边界条件中含谱参数的 Sturm-Liouville算子特征值的渐近展开式. 进一步利用初值问题解的渐近估计, 并借助于一个积分恒等式, 采用留数方法, 得到了边界条件中含谱参数的Sturm-Liouville问题特征值的迹公式.
本文主要内容安排如下:
第一章 绪论. 主要介绍Sturm-Liouville 理论的研究状况及本文所做的工作.
第二章 本章研究定义在闭区间[0,1]上且边界条件中不含谱参数的正则Sturm-Liouville 问题, 其中势函数, 给出了微分方程基本解的高阶展开式.
第三章 本章讨论定义在闭区间[0,1]上且边界条件中含谱参数的Sturm-Liouville问题, 其中势函数. 借助于微分方程基本解的高阶展开式及系数特
征, 采用剩余估计法, 给出该Sturm-Liouville问题的特征值的渐近展开式.
第四章 本章研究定义在闭区间[0,]上且边界条件中含谱参数的Sturm-Liouville问题. 本章首先给出该问题的特征函数, 然后借助于该特征函数, 给出该问题的特征值的迹公式.
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