● 摘要
本文所研究的问题涉及两类生物动力学的捕食-食饵模型, 一类是修改的Holling-II型反应函数的捕食-食饵模型和一类具有平方根反应项的捕食-食饵模型. 主要运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识, 特别是抛物型方程和对应的椭圆型方程的理论知识和方法, 讨论了两类生物模型解的共存态, 正性, 有界性及其稳定性.
本文通过分歧理论, 上下解方法和能量积分等方法研究了在第一边界条件下的修改的Holling-II型反应函数的捕食-食饵模型
通过特征值扰动理论, 比较原理和分歧理论研究了带有齐次Neumann边界条件的带有平方根反应项的捕食-食饵模型
本文主要内容如下:
第一章主要给出了修改的Holling-II型反应函数的捕食-食饵模型和带有平方根反应项的捕食-食饵模型的生物背景和发展状况, 并给出了一些相应的研究成果.
第二章研究了一类基于修改的Holling-II型反应函数的捕食-食饵的反应扩散模型. 首先, 给出了该系统的解的先验估计和正解存在的充分条件; 其次, 以扩散系数$d$为分歧参数, 运用分歧理论和Leray-Schauder度理论等知识, 讨论了对应平衡态系统在正常数平衡态附近的分歧现象并给出了在局部分歧点附近解的结构; 证明了该局部分歧可以延拓为全局分歧并给出了一维情况下全局分歧解的性态; 最后, 利用稳定性理论给出了正常数平衡态的稳定性.
第三章研究了一类带有平方根反应项的捕食-食饵模型. 首先, 运用极值原理给出了该模型解的存在性和非负解的有界性; 其次, 运用稳定性理论, 讨论了对应的抛物型模型平衡态和正常数平衡态的局部渐近稳定性, 一致渐近稳定性;
最后, 通过分歧理论和Leray-Schauder度理论等知识: 讨论了对应的平衡态方程在正常数平衡解附近的分歧解, 且局部分歧可以延拓成整体分歧,并讨论了分歧解的走向.