2017年复旦大学化学系720量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。
【答案】
2． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率
3． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
4． 一粒子的波函数【答案】
则粒子位于
间的几率为_____。
5． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性
【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说诞生奠定了基础.
6． 总散射截面Q 与微分散射截面【答案】
爱因斯坦后来将此应用到了光电效应
上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的
的关系是_____。
二、简答题
7． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
8． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
9． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
10．自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
11．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
12．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为为实函数，但
13．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
14．什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
可以为复函数。
三、计算题
15．已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
满足
的矩阵表示。
且
求：
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是
利用
所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
得：
由于
所以：
则有：
所以：
则有：令
其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：
（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：
α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对
有：
对
有：
所以，在B 表象中算符的本征值是
，本征函数为：
和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是
则
可得：
即
则有：
由于是厄米算符，
本征函数为：
从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：
16．在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，
代表
（自旋向上）的状态波函数，
简要说明其物理意义。
代表
（自旋向下）的状态