● 摘要
Navier-Stokes 方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程, 是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来, 是最复杂的方程之一. 上一个世纪, 一些科学家看到了理论流体与工程实际相差太远, 试图给欧拉的理想流体运动方程加上摩擦力项. 纳维（Navier 1827）, 柯西（Cauchy 1828）, 泊松（Poisson1829）, 圣维南（St.Venant 1843）和斯托克斯（Stokes 1845）分别以自己不同的方式对欧拉方程作了修正. Stokes首次采用动力粘性系数. 现在, 这些粘性流体的基本方程称为Navier-Stokes 方程. 但是由于 Navier-Stokes 方程是数学中最为难解的非线性方程中的一类, 寻求它的精确解是非常困难的事, 因此各类计算格式被应用于 Navier-Stokes 上.本文主要研究关于非定常不可压 Navier-Stokes 方程的一类四步向前 Crank-Nicolson 投影格式以及增加扰动噪声的随机非定常不可压 Navier-Stokes 方程的数值解收敛性. 具体内容分为以下三部分:1. 关于此四步向前投影格式的数值解误差估计. 得出了其数值解的稳定性, 并且证明了此投影格式得到的速度和压力具有二阶精度.2. 将自适应有限元方法应用到此四步向前投影格式上, 构造了后验误差算子, 证明了其后验误差算子满足上下界条件, 并且针对此投影格式设计了可以在有限步内实现的自适应算法, 证明了此算法的有效性. 给出了具体数值例子展现自适应算法的网格自动加密过程.3. 在本文中还研究了增加白噪声的随机非定常不可压 Navier-Stokes 方程的数值算法的收敛性. 白噪声采用 Wiener 过程模拟, 设计了匹配随机 Navier-Stokes 方程数值解的空间和范数, 随机非定常不可压 Navier-Stokes 方程数值解的误差被分为确定的和随机的两部分, 分别采用不同的方法得到了收敛性的证明. 详细证明了 Crank-Nilcoson 格式数值解的收敛性, 同时给出 Euler 格式相应的结果.
相关内容
相关标签