问题:
A . 若D有界,则F必能在D的某个顶点上达到极值
B . 若F在D中A、B点上都达到极值,则在AB线段上也都能达到极值
C . 若D有界,则该线性规划问题一定有一个或无穷多个最优解
D . 若D无界,则该线性规划问题没有最优解
● 参考解析
本题旨在从宏观上理解线性规划方法的原理与机制,特别是从二维、三维的直观理解推广到高维的理解。这种宏观的直观的理解对于深刻认识数学概念、方法是非常重要的,对于创新也会有重要的、奇特的启发作用。
很明显,有界区域内线性函数的值域肯定是有界的。从直观上可以理解,由于线性函数的平坦性,其极值一定会在边界上达到(许多教材上给出了严格证明)。直观的理解有助于形象的感悟某些理论研究的结论。由于单纯形区域的边界是逐片平直的,它对应的线性目标函数值域也会逐片平直的,人们可以想象,线性函数F会在D区域的顶点处达到极值。所以选项A是正确的。
由于单纯形区域是凸集,只要A、B两点在区域内,则线段AB全在该区域内。由于F(A)与F(B)在线性目标函数值域上,不难看出,线段AB中的任一点C对应的F(C)就会落在F(A)与F(B)的连线上。所以选项B也是正确的。
选项C可以从选项A与B导出。线性规划问题要么无解,要么只有唯一的最优解,要么会有无穷多个最优解。因为如果有两个最优解,则这两个解的连线段上所有的解都是最优解。所以选项C也是正确的。
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