● 摘要
许多实际物理系统求解中最大的计算量在于（非线性）扩散方程的计算，这一步必须采用并行格式计算。对于一个好的求解（非线性）扩散方程的并行格式，我们要求它既能保持所需的数值精度、守恒性、保正性，同时程序又易于在大型并行机上高效执行。如何构造满足上述所有特性的格式也一直是人们关注的难题。
本文的目的正是在一般的多边形网格上构造求解非线性扩散方程的守恒且保正的并行有限体积格式。基于一种串行的非线性单调的有限体积格式，我们采用非重叠的区域分解方法来并行求解。首先，用常用的皮卡非线性迭代把多边形网格上以单元中心为未知量的隐式的有限体积离散格式线性化，然后在每一个非线性迭代步，我们求解一次线性化的子区域问题，其中子区域内边界处的 Dirichlet 边界条件由上一个相邻的非线性迭代步计算出的单元中心值提供。在皮卡非线性迭代收敛后，在子区域的内边界处我们构造离散通量边界条件，把这作为内边界处的 Neumann 条件再求解一次方程组，这样就保证了内边界处的通量守恒。因为这个格式在子区域内部和内边界处都是守恒的，所以说这个格式是全局守恒的。最后，我们列出了一些数值结果来检测格式的特性，比如收敛阶、守恒误差、稳定性和并行效率等。同时，通过不同的测试我们发现，如果对时间步长稍加限制，数值结果也显示我们的格式是保正的。