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2008年中国科学技术大学 数学分析试题解答

试题解答由SCIbird 提供

说明：自07南开数分和08北大数分解答之后，再奉献08科大数分试题解答。试题仍在博士家园的博士数学论坛首发，大家若有转载请注明出处。

关于试题先做下如下说明：

这套试题基本保留了9道原题，其中原第三题实在太过糟糕，破坏了试卷整体质量，所以决定舍去，而用另外的试题代替。部分试题按自己的理解修改了条件。第四题增加了两数列非负条件，第十题增加了函数非负连续条件。最后，一并感谢提供试题的网友们。

1. 设f (x )∈C [0, 1], 求证：

(1). ∃x 0∈[0,1], 使得sin 2(πf (x ))=x 00;

2(2). 若f (x )=x , 则sin (πx )=x 有且仅有三个根.

证明：(1) 令F (x ) =sin 2(πf (x ))−x ，则 F (0)≥0, F (1)≤0. 由连续函数零点定理知，

2 存在x 0∈[0,1],F (x 0) =0. 即 ∃x 0∈[0,1], 使得sin

(2) 令t =πx , g (t ) =sin t −2(πf (x ))=x . 00t

π. 当t <0时，g (t ) >0; 当t >π时，g (t ) <0.

故 g (t ) =0的根只能分布在[0,π]上。易知g (0)=0，g ′(t ) =sin 2t −

由函数图象可知，函数sin 2t 与1π. 1

π在[0,π]上只有两个交点t 1, t 2(0

2.

g (t ) 在区间[0,t 1],[t 2, π]上单调递减，在区间[t 1, t 2]上单调递增。

因为 g (t 1) g (=π

21>0, g (π) =−1<0. 所以，由零点定理知 2

2 g (t ) =0在[0,π]只有三个实根，对应sin (πx )=x 有且仅有三个根(分布在[0,1]上) 。

2. 设f (x , y ) 是定义在D =[0,1]×[0,1]上的实值连续函数，

求证：g (x ) =sup{f (x , y ) |0≤y ≤1}在[0,1]上连续.

证明：因为函数f (x , y ) 在D =[0,1]×[0,1]上连续，所以f (x , y ) 在D 上一致连续。 所以任取ε>0，存在δ>0，使得只要|x 1−x 2|<δ,|y 1−y 2|<δ，

就有 |f (x 1, y 1) −f (x 2, y 2) |<ε.

∀x 1, x 2∈[0,1],|x 1−x 2|<δ, 则