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福建师范大学数学分析试题（二题）

一、设f (x ) 在开区间(a , b ) 内连续，a

证明 由于f (x ) 在[x 1, x n ]⊂(a , b ) 上连续，则f (x ) 在[x 1, x n ]上可取得最大值M 和最小值m ，于是m ≤f (x ) ≤M , x ∈[x 1, x n ]，显然m ≤C =f (x 1) +f (x 2) ++f (x n ) ≤M n ，

f (ξ) =C 则由介值定理的推论，在[x 1, x n ]上至少存在一点ξ，使得

f (ξ) =f (x 1) +f (x 2) ++f (x n ) n ，即

二、设f (x ) 在(−∞, +∞) 上连续，ϕ(x ) =∫0f (xt ) dt ，且lim x →0并讨论ϕ′(x ) 在x =0处的连续性. 解 由题设知ϕ(0)=∫0

ϕ(x ) =∫f (xt ) dt =011f (x ) =A （Ax 为常数），求ϕ′(x ) ，1f (0)dt =f (0)=lim f (x ) =lim x →0x →0f (x ) x =0x ，令u =xt ，得1x ∫0x ⎧1x f (u ) du , x ≠0⎪. f (u ) du (x ≠0) ，因此ϕ(x ) =⎨x ∫0⎪0, x =0⎩

x

2当x ≠0时，ϕ′(x ) =xf (x ) −∫f (u ) du x ；

当x =0时，由导数定义，

ϕ′(0)=lim x →0ϕ(x ) −ϕ(0)x ∫=lim x →0x 0f (u ) du x 2=lim x →0f (x ) A =， 2x 2

⎧xf (x ) −x f (u ) du 0⎪, x ≠02⎪x ， 故 ϕ′(x ) =⎨⎪A , x =0⎪⎩2

又lim ϕ′(x ) =lim x →0x →0xf (x ) −∫f (u ) du x 0

2x f (u ) du f (x ) A A ∫0A =lim −lim =−==ϕ′(0)， x →0x →0x x 222x

于是ϕ′(x ) 在x =0处连续.