● 摘要
半代数系统是由多项式方程和不等式构成的系统. 其实解集合, 称为半代数集, 是实代数几何的基本研究对象. 半代数集的计算, 也就是半代数系统的求解, 是计算实代数几何的一个基本问题. 本文主要研究半代数集的参数化, 特别是实代数曲线和实代数曲面的参数化及再参数化问题. 在第一章中简单介绍本文的研究工作之后, 我们在第二章中给出一个计算半代数集参数化的算法框架. 该框架主要包括三个部分: 多项式组定义的实代数簇的参数化、缺失点的计算和参数条件的化简. 在这个框架中, 我们通过线性变换和吴特征列方法得到拟线性的三角列, 然后计算三角列中第一个多项式定义的超曲面的实参数化, 进而得到原半代数集对应的实代数簇的参数化, 最后利用量词消去算法计算参数化过程中缺失的分支并化简参数条件. 这样半代数集的参数化就可以转化为超曲面的实参数化, 在第三章中我们系统介绍两类最简单的超曲面——代数曲线和代数曲面——的参数化和再参数化工作. 从第四章开始, 我们讨论一类特殊的参数化——弧角参数化. 我们用角速度的均匀度来评估曲线参数化的优劣, 给出平面曲线的最优参数表示即弧角参数化的计算方法,并证明平面曲线中只有直线具有有理的弧角参数化. 对非直线的有理曲线, 我们提出不同的方法用以计算弧角参数化的有理逼近, 包括次数不变的最佳逼近(第四章)、优化的C^0分段有理逼近(第五章)和(近似)优化C^1分段有理逼近(第六、第七章). 这些方法依据弧角参数变换的特性, 并使用最优化理论中的工具来选取参数或参数序列, 从而能最大限度地提高参数曲线的角速度均匀度. 基于这些方法所设计的算法已经在Maple中实现为软件包ImUp. 我们在第九章中对该软件包和部分实验结果作简单介绍. 我们将线速度和角速度的概念推广为拟速度, 指出拟速度的均匀度可以衡量参数化的优劣, 并引进均匀拟速度参数化的概念. 在此基础上, 我们设计一个算法框架并为该框架提供计算均匀拟速度参数化的算法和曲线具有有理均匀拟速度参数化的判定准则. 对于不具有均匀拟速度参数化的有理曲线, 我们给出多种计算均匀拟速度参数化有理近似的算法, 包括次数不变的最佳近似、优化的C^0分段有理近似和(近似)优化的C^1分段有理近似. 我们还以空间曲线和线速度、角速度以及扭转速度为例, 对该框架中的算法进行说明. 本文第八章总结这些工作, 它们可以看作是第四章至第七章内容的推广.
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