● 摘要
在种群动力学的早期研究中, 人们常用常微分方程数学模型来描述种群的动力学行为, 解决了很多实际问题, 起到了很大的作用. 然而, 常微分方程不能确切地刻画具有脉冲现象的种群系统的生长规律,由于脉冲动力系统的解在脉冲时刻之间具有连续性, 而在脉冲时刻处具有间断性, 使得脉冲动力系统的理论与连续动力系统理论相比较更加丰富和复杂. 由于脉冲现象广泛存在于各种应用领域, 特别是种群动力学中, 与常微分方程相比, 利用脉冲微分方程能更准确地反映种群系统的这类具脉冲性质的变化规律, 因此, 研究具有脉冲效应的种群动力系统具有重要的实际意义.
脉冲微分方程的研究始于上世纪六十年代, 随着其理论研究的不断深入, 应用研究也得到了很大发展. 近年来, 脉冲微分方程在研究种群动力系统、害虫综合控制以及生物资源优化管理等领域得到了广泛的应用. 然而, 生物种群资源是一种可再生资源, 如何开发有限的生物资源, 实现可持续发展, 已经成为众多数学家、经济学家和生态学者共同关注的问题. 人类在管理开发利用种群资源时, 通常将生态效益和经济效益作为开发原则, 使得种群资源能够为人类持续利用. 近年来, 种群资源开发管理问题一直是一个十分活跃的研究领域, 许多学者针对不同的具体问题从不同的侧面进行了大量的研究. 目前所见到的对于种群生物资源的最优收获策略, 主要是通过分析方法研究讨论的, 但对于多种群收获问题或较复杂的单种群收获系统, 利用分析方法可能讨论起来很困难, 我们注意到, 利用关于脉冲微分系统的最优控制理论却可以很好地解决这类问题. 本文主要应用关于脉冲微分系统的极值原理研究具有脉冲收获的种群系统的最优收获策略问题.
本文的主要工作和成果为:
首先研究了一类单种群系统的最优收获策略. 主要研究在有限的时间周期内, 由Gompertz模型描述且具有脉冲收获的种群系统的优化控制问题. 在每次的收获量预先给定的前提下, 以种群在周期末的存储量最大为目标, 研究脉冲收获时刻的不同选择对存储量的影响并确定最优的收获策略. 首先利用脉冲微分系统的极值原理研究获得了最优收获时刻应满足的条件, 并在时间周期充分长的情况下讨论了具有多次常量收获时的最优收获策略. 进一步结合一些分析技巧研究了在一给定时间范围内的最多收获次数及最优收获策略问题. 并且给出了一个实例及一些数值模拟以验证所得到的理论结果.
本文还研究了一类在周期环境中两种群联合脉冲收获系统的最优收获策略. 在给定时刻对两种群同时进行比例脉冲收获, 在系统保持周期变化的前提下, 考虑收获成本因素, 以最大经济净收益为目标, 研究收获努力量对收益的影响, 并确定最优的脉冲收获策略. 利用脉冲微分系统的极值原理, 获得了最优脉冲收获策略及最优收益的具体表达式.