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一、计算题

1． 甲有300单位商品x ，乙有200单位商品y ，二人的效用函数都是U （x , y ）=xy，推导出所有满足Pareto 最优的状态。二人通过交换达到Pareto 最优，求出社会的价格体系，并求出交换结果。

【答案】（1）设甲乙两人的消费束为:甲（x 1，y 1），乙（x 2，y 2）.

题设的约束条件为:

①

帕累托有效配置的条件是:甲、乙两人的无差异曲线相切，即:

于是可得：

②

联立①②式可得：。

。 因此，所有满足Pareto 最优的状态的契约线为:

（2）令商品x 的价格为1，商品y 的价格为P , 先求甲的效用最大化条件:

解得:。

再求乙的效用最大化条件:

解得:。

可求得:P=1.5。 由第（1）小问中解得的Pareto 最优条件

此时，x 1=150, y 1=100; x 2=150, y 2=100。

也就是说，社会最终的价格体系为:商品x 的价格为1，商品y 的价格为; 交换结果为:甲消费150单位的x ，消费100单位的y ; 乙也消费150单位的x ，消费l00单位的y 。

2． 设有一居民李四，其效用函数为

（1）该居民的最优消费组合。 x 为食品消费量; y 为其他商品消费量。，其中，另外，该居民的收入为5000元，二与Y 的价格均为10元，请计算:

（2）若政府提供该居民2000元的食品兑换券，此兑换券只能用于食品消费，则该居民的消费组合有何变化?

【答案】（1）李四的预算约束方程为

根据消费者效用最大化的一阶条件:

其中

，

得:。

将上式代入预算约束方程，可以得到:。 将边际效用函数和商品价格代入一阶条件，可

（2）政府提2000元的食品兑换券，消费者效用最大化时，食品消费量不能低于200单位。假设政府提供该居民2000元的食品兑换券为2000元现金，此时李四的预算约束方程为:

则李四的最优消费组合为:从李四的最优消费组合可以知道

费单位收入用于食品消费。因此，， 。即李四不仅消费了2000元的食品兑换券还花，为政府提供了2000元食品兑换券后的最优消费组合。

3． 已知某厂商使用L 和K 两种要素生产一种产品，其固定替代比例的生产函数为Q=4L+3K。

（1）作出等产量曲线。

（2）边际技术替代率是多少?

（3）讨论其规模报酬情况。

（4）令P L =5PK =3。求C=90时K 、L 值以及最大产量。

（5）令P L =3PK =3。求C=90时K 、L 值以及最大产量。

（6）令P L =4PK =3。求C=90时K 、L 值以及最大产量。

（7）比较（4）, （5）和（6），你得到什么结论?

【答案】（1）该生产函数Q=4L+3K为固定替代比例的生产函数，曲线如图所示，它是一条直线型的等产量曲线，其斜率为 ，是一个常数，表示两要素的固定替代比3例为L :K=3:4。

，是一个常数。 （2）该生产函数的边际技术替代率为

图

（3）当该生产函数Q=4L+3K的所有生产要素使用量都增加λ倍时，

有

。这说明它导致产量增加兄倍，所以该生产函数是规

模报酬不变的。事实上，任何固定替代比例的生产函数都是规模报酬不变的。

（4）根据题意，该生产函数Q=4L+3K所对应的等产量线的斜率绝对值为

的预算方程5L+3K=90所对应的预算线的斜率绝对值为

于预算线的斜率绝对值。

如图（a ）所示，三条平行的等产量曲线Q 1、Q 2和Q 3（用虚线表示）的斜率绝对值均小于预算线AB 的斜率绝对值，等产量曲线Q 2与预算线AB 所能达到的最大产量为等产量曲线Q 2所示。在A 点，厂商的全部成本都用来使用要素K ，要素L 的使用量为零。于是，

厂商的要素使用量为

, L=0，最大产量。

在等产量曲线的斜率绝对值小于预算线的斜率绝对值时，即

小等式左边表示厂商在生产中用1单位要素L 可以替代约单位要素K ，且保持产量不变;

单位要素K 。因此，厂，给定，即所有等产量曲线的斜率绝对值小不等式右边表示在市场上厂商按要素价格可以用1单位要素L 换取约

在生产中用1单位要素K 能替代

部使用要素K ，即K=30, L=0。 商自然会全部使用要素K , 而要素L 的使用量为零。或者，也可以这样理解，不等式左边表示厂商单位要素L ，并保持产量不变; 不等式右边表示在市场上厂单位要素L 。由此，厂商自然不会使用要素L ，而全商按要素价格用1单位要素也只能换取