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2011年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷A 考试科目： 818高等代数 适用专业： 应用数学 满分150分

考试时间： 2011年1月16日下午2：00——5：00 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效； 请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。

2cos α

1

一（15分）计算n 阶行列式D n =12cos αO O 1

O 12cos α

1 12cos α

二（15分）证明：x p +px +1（p 为奇素数）在有理数域上不可约。 三（20分）设A 为n 阶非零实矩阵，若A 的任一元素均与其代数余子式相等

AX =0仅有零解。

四（20分）设f (X ) =X T AX , g (X ) =X T BX 为实二次型，且f (X ) 正定，证明：

存在可逆线性变换化f (X ) 为规范型，同时化g (X ) 为标准形，并且g (X ) 的标准形各项系数均为xA −B =0的根。特别，若g (X ) 也正定，则g (X ) 的标准形各项系数均大于零。

五（20分）设σ为线性空间V 的一个线性变换，其最小多项式m (λ) =m 1(λ) m 2(λ) ， 且(m 1(λ), m 2(λ)) =1，则

（1）ker m i (σ) (i =1, 2) 均为V 的σ−不变子空间；

（2）V =ker m 1(σ) ⊕ker m 2(σ) 。

六（20分）设P 为数域，A ∈P n ×s , B ∈P s ×n ，证明：

（1）V ={B α|AB α=0, α∈P n }是P s 的子空间；

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