当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:

【答案】

2． 设随机变量序列数，并求出c.

【答案】因为

且

所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即

为样本，

都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得

是的无偏估计，且

的均值与方差，

令

第 2 页，共 42 页

独立同分布，且令试证明:其中c 为常

有

3． 设总体为

证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到

因而

则

由于从而

这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到

所以

从而

于是

在

时,

这说明作为0的无偏估计，在

比样本均值有效.

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明

:

时，

故

样本中程

4． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因

为

于是

（2）有界性. 对任意的X ，有

都是分布函数，故

当

时，

有

且

（3）右连续性.

第 3 页，共 42 页

5． 设是来自两参数指数分布

是充分统计量.

的样本，证明

【答案】由已知，样本联合密度函数为

令

由因子分解定理，

的充分统计量•

且X

的特征函数，由唯一性定理知的概率分别是

. 证明

:

6． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

7． 设随机变量X 取值

【答案】

8． 证明下列事件的运算公式:

（1）（2）

【答案】（1）右边=（2）利用（1）

有

=左边. , 所以

二、计算题

9． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数

【答案】记（1）（2）

服从伽玛分布

；

设各周的需求量

相互独立，

且密度函数都为

（2）三周需求量的密度函数

为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.

，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为

, 其密度函数为

第 4 页，共 42 页