2017年南通大学理学院803大学物理(含力学、光学、电磁学、热学)之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
2． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
3． （1）体系处在用归一化波函数描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米算符的本征函数系展开. 即
认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
有
（3）
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为
为定值.
并积分得
考虑到正交归一化条件【解析】由题意
在上式两边乘以
有
【解析】由平均值定义式
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
4 设体系的状态波函数为．量
的关系为_____。
如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢
【答案】
5． —粒子的波函数为【答案】
写出粒子位于
则
间的几率的表达式_____。
6． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
二、简答题
7． 如果算符
表示力学量那么当体系处于
的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
9． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
10．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
11．—个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
12．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
13．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
时有确定的测值。
14．什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
三、证明题
15．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
其中：
同理，有:
因此，有：
利用类似的方法，可得：
为电子动量算符，算符定义为且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。