2018年安徽农业大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
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3． 设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为
（
2
）若
【答案】（1）由题意知
，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/对应的矩阵为
（
2）证明
：设则
而矩阵A 的秩
故f
在正交变换下的标准形为
4．
已知实二次型
的矩阵A
，满足
且
其中
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，
并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型
【答案】
（Ⅰ）由由
知，B 的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A 有特征值即
是属于A 的特征值.
令
的线性无关特征向
显然
B 的第1, 2列线性无关，量，从而知A 有二重特征值
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设
对应的特征向量为
则与—j 正交，于是有
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
二、计算题
5． 设n
阶行列式
把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得
，
为此通过交换行将
变换成D ,
从而找出
与D 的关系
.
的最后
证明
【答案】（1
）先计算