● 摘要
在线性算子理论中,局部谱理论的研究一直是一个重要课题.早在1909年Weyl定理被发现以来, 人们就开始了对算子Weyl定理的研究. 而Browder定理是Weyl定理的前提, 单值扩张性质在Browder定理的判定中又起着重要作用. 因此, 自单值扩张性质的概念被提出以来, 它的研究就得到了众多学者的关注. 另外, 如果任意一个有界线性算子的定义空间可以用直和的形式表示, 那么该算子就能写成算子矩阵的形式. 因此, 在线性算子领域中, 我们经常会用算子矩阵的思想来研究算子自身的性质.
本文着重探讨了一类特殊的上三角算子矩阵和反对角算子矩阵的单值扩张性质以及Browder定理在紧摄动下的稳定性. 通过研究, 给出了这两类算子矩阵在单值扩张性质以及Browder定理的紧摄动下成立的等价条件.
全文共分为三章, 具体安排为:
第一章为绪论. 一方面描述了本文的研究现状以及相关背景知识, 另一方面给出了各种算子与所对应的谱的定义, 同时对文中出现的概念及性质进行了说明.
第二章研究了一类特殊的上三角算子矩阵的单值扩张性质以及Browder定理在紧摄动下的稳定性. 用左上角算子的性质刻画了算子矩阵的相关性质, 给出了此类算子矩阵在全部紧摄动下保持单值扩张性质以及Browder定理的等价条件, 并举例加以说明.
第三章研究了反对角算子矩阵的单值扩张性质以及Browder定理在紧摄动下的稳定性, 并分别给出了反对角算子矩阵在全部紧摄动和微小紧摄动下保持单值扩张性质以及Browder定理的等价条件.