题目：具有不稳定子系统的切换系统稳定性研究

切换系统作为最重要的一类混杂系统, 常用来模型化各种控制问题及某些自然界的复杂过程. 由于存在多个子系统和各种可能切换信号的多样性, 导致切换系统虽然表现形式简单, 却展现出非常复杂的动力学行为. 近几十年来, 关于切换系统稳定性的研究一直吸引着众多系统工程师, 计算机和数学家们的广泛关注. 本文主要以具有不稳定子系统的切换系统为研究对象, 这类系统在实际中既具有理论上的挑战性又具有非常重要的应用背景.本文主要内容如下:
第一章主要介绍了本文的研究意义和现状.
第二章研究所有子系统均不稳定的切换线性系统的鲁棒稳定性性质. 首先, 在特定假设下, 给出这类系统能稳的必要条件; 其次, 利用不变子空间理论及平均驻留时间技术, 在给定的两个假设下, 分别获得无不确定性和含不确定性的这类系统稳定性的充分条件. 切换信号需要满足在两组不稳定子系统之间激活的时间比介于两个常数之间. 其中这两个常数可以通过切换系统设计的稳定度计算得来. 另外, 本章也发展了多Lyapunov函数理论, 并给出这种Lyapunov函数构造方法.
第三章研究具有不稳定子系统的离散时间切换线性系统的稳定性问题. 首先, 给出这类离散切换系统能稳的必要条件; 其次, 在特定的假设下, 利用平均驻留时间技术获得了这类系统稳定的充分条件. 最后, 给出两个仿真算例演示本章结论有效性. 需要指出的是, 已经有一些基于平均驻留时间技术研究离散时间切换系统的结论, 这些结论多是运用相似于连续情形的手段进行处理. 然而, 对离散时间切换系统而言, 由于系统的状态仅依赖于之前的采样时刻点而不是之前的任意时间点, 这导致了可能出现尽管平均驻留时间大于所给出的最小平均驻留时间, 切换仍然不能发生或没有意义. 为解决这一矛盾, 本章提出离散切换信号这一新概念, 并对这类离散切换信号发展了平均驻留时间技术.
第四章研究经典Lyapunov函数定理的扩展问题. 特别的, 本章结论放松了经典Lyapunov函数V需沿系统轨迹非增这一要求. 从这一点来说, 经典Lyapunov函数可以看做这里的广义Lyapunov函数的一种特例. 特别的, 非线性系统的稳定性定理可以按如下形式获得: 用``V 沿系统轨迹容许在某些适当的时间段上增加'替换``V沿系统轨迹非增'. 不同于多Lyapunov函数方法, 新理论仅需构造一个类Lyapunov函数而不是多个. 本章也研究了理论发现在具有不稳定子系统的切换系统中的应用问题. 最后两个算例仿真演示结论的有效性.
 
第五章建立重置正系统与切换正系统的关系. 首先, 作为重置控制系统的一种扩展, 这里提出了重置正系统这一新概念. 其次, 本章建立起重置正系统与切换正系统之间的某种等价关系. 这种关系使我们可以将重置正系统稳定性问题转化为离散时间切换系统稳定性问题, 而对于切换系统来说有多种处理方法. 然后, 借助这种联系, 给出在任意重置下重置正系统渐进稳定的充要条件; 同时也给出这类系统能稳的充要条件. 最后, 给出重置正系统的一些稳定判据.
第六章考虑扩展平均驻留时间技术下的离散时间和连续时间切换系统稳定性问题. 通过引入三个新的概念, 即闭链, r-开链和拟循环切换信号, 在这些新切换信号下可以获得平均驻留时间及模型依赖平均驻留时间切换相对应的稳定及能稳性结论. 在特定的受限切换信号下, 我们发展和丰富了切换系统的已有稳定性结论. 另一方面, 本章也提出一种获取平均驻留时间及模型依赖平均驻留时间更好下界的方案.