2018年哈尔滨工业大学理学院833量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 写出泡利矩阵。 【答案】
2． 写出电子在外电磁场【答案】
中的哈密顿量。
3． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
4． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
5． 扼要说明：
（1）束缚定态的主要性质。
（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
依题意
理论根据：电矩m 矩阵元
6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
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的本征态时，算符对
的作
时，算符对态
用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即
7． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
时有确定的测值。
8． 厄米算符的本征值与本征矢
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
9． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
问何为厄密算符？何为
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
10．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
二、证明题
11．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
12．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为
即有：
因A 不显含时间t , 所以
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因而有：
三、计算题
13．两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。
（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。
【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为
而波函数为
有4重简并。
）中。对下列两种情况
写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波
第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。
（2
）自旋非简并。
的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:
总能量为
波函数为
第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，
代表二粒子自旋单态
，
代表自旋三重态。
14．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬
同本征矢
（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于
求在t ＞0后粒子的态？
为基，求自旋算符S 的矩阵表示.
中（为x 轴
态的概率是多少?
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