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一、综合题

1．

对一维线性谐振子基态【答案】

动量几率分布：

其中，

并验证测不准关系。

故：

求动量几率分布。

2． 对一维线性谐振子的本征态，分别计算

【答案】利用位力定理，可以得到，对于谐振子势中的粒子，有

因为

所以：

于是有：

所以基态满足测不准关系的最小值为：

3． 处于位势（1）非全同粒子。 （2）自旋为的全同粒子。

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中的两个无相互作用的粒子，试分别给出它们的基态、第一激发态和第二激

发态的能量和简并度。

（3）自旋为0的全同粒子。 【答案】⑴

（2）

（3）

4． 空间转子的转动惯量为I ，电偶极矩为

中

，

为常量。设

受到外电场微扰作用：

其

时转子处在基态，求经过相当长时间后转子处于激发态的概率。

以方向为z 轴方向，则:

【答案】初态

末态几率幅其中

由

和

的正交归一性，

所以有：

长时间后即处在激发态

的几率：

其中，

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5． 有一种冷原子有两个能级简并的态的激光场的效应相当于如下微扰哈密顿量：修正和所对应得本征态。

最近科学家在他们的冷原子“暗态”实验中引入

求出该微扰哈密顿量引起的能级

【答案】由简并微扰论，能级修正为如下久期方程的根：

解得：对应本征态

满足：

考虑归一化关系，解得：

因此，对应本征态为：

6． —体系服从薛定谔方程：

（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）。 （2）求基态能量和基态波函数。 【答案】（1）体系的哈密顿量为：

引入质心坐标和相对坐标r :在坐标变换

下，体系的哈密顿量变为：

容易得知系统的守恒量为（2）相对运动哈密顿量为：

相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为：

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（中心力场）。