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一、计算题

1． 牧民A 和牧民B 在同一块地放牧。假设:如果这块地上有20头牛，每头牛终生可以产出4000元牛奶; 这块地上有30头牛时，每头牛终生可以产出3000元的牛奶; 有40头牛时，每头牛终生可以产出2000元的牛奶。牧民购买一头牛的成本为1000元。显然，如果在这块地上放牧更多的牛，每头牛能吃的草就少了，牛奶产量也就少了。

（1）设牧民A 和牧民B 每人可以买L=10头牛，也可以买L=20头牛。如果是一次性非合作博弈，计算并画出牧民A 和牧民B 的净得益矩阵图示。

（2）给出该博弈的纳什均衡解，并说明理由。

（3）放松本题的假设，如果这块地成为放牧公地（共有地），放牧的牛数不受限制，若干年后结局会如何? 为什么?

【答案】（1）①牧民A 和牧民B 每人买L=10头牛时，每头牛终生可产出4000元的牛奶，牧民购买一头牛的成本为1000元。

所以，放牧每头牛可以带来利润

牧民A 和牧民B 的利润都是

此时，牧民A 的利润为

牧民B 的利润为

此时，牧民A 的利润为

牧民B 的利润为

此时，牧民A 和牧民B 的利润都为

牧民A 和牧民B 的净得益矩阵如表所示。

表牧民A 、牧民B 的净得益矩阵

。 。 ; 。 。 。 ②若牧民A 买L=10头牛，牧民B 买L=20头牛时，每头牛终生可产出3000元的牛奶。 ③若牧民A 买L=20头牛，牧民B 买L=10头牛时，每头牛终生可产出3000元的牛奶。 ④如果牧民A 和牧民B 每人买L=20头牛时，每头牛终生可以产出2000元的牛奶。

（2）该博弈的纳什均衡解为（牧民A 买20头牛，牧民B 买20头牛）。理由如下:

对于牧民A 的策略选择而言，当牧民B 选择“买10头牛”时，牧民A 会选择“买20头牛”，因为当牧民B 选择“买20头牛”时，牧民A 会选择“买20头牛”。

同理，对于牧民B 而言也是一样，所以，“买20头牛”是两人的占优策略。策略组合（牧民A 买20头牛，牧民B 买20头牛）达到了一种均衡状况，任何一个参与者都不会改变自己的策略，如果其他参与者不改变策略。所以，（牧民A 买20头牛，牧民B 买20头牛）是该博弈的纳什均衡解。

（3）如果这块地成为放牧公地（共有地），放牧的牛数不受限制，则会导致“公地的悲剧”，即最终两人的净收益为零，并且牧场被破坏。理由如下:

牧民A 和牧民B 在同一块地放牧，由于公地的蓄草量固定，放牧收益服从报酬递减规律。 图中，AB 线是放牧牛群的平均收益，MR 代表边际收益曲线。OA 线表示放牧每头牛的成本固定。如果整个土地完全由私人排他性占有，那么根据利润最大化原则MR=MC（即放牧每头牛的成本OA ），可确定O 是最优化放牧量，但由于每个成员都有同等的放牧权，而从单个成员的角度看，增加放牧量有利可图:直到他放牧一头牛的收益等于成本时，公地总的牛群规模达到O ´，竞争性的扩张运动才算停止。O ´是公有产权条件下的均衡放牧量。在此水平上，公有地的平均放牧收益等于平均成本，无人获得任何净收益。而在私人所有权条件下，却可以获得相当于ABC 的租金。可见，公地上的竞争导致了土地租金的流失和过度放牧，这种情况在西方称为“公地的悲剧”。它概括了一切稀有资源在公有产权条件下所面临的过度利用或搭便车问题背后的经典逻辑，即在公有产权条件下，人们缺乏考虑自己的行为对他人的外部影响的内在激励，导致私人边际成本小于社会边际成本。公有森林的过度砍伐、公海上的过度捕杀、环境污染以及交通拥挤问题都出自同样的逻辑。

*

图公地的悲剧

2． 小李在时期1的收入为1000元，在时期2的收入为1200元，

他跨期的效用函数为

，利率为25%。请回答以下问题:

（1）画出小李的预算线，并标明其斜率和收入享赋点;

（2）求小李两个时期的最优消费，并标汁在上图中;

（3）如果政府加征20%的利息收入税，请重新计算小李的预算线以及跨期最优消费，并标注在图中。

【答案】（1）由题意知:Y 1=1000，Y 2=1200，r=25%，则:

小李第1时期的最大的消费量=

小李第2时期的最大消费量=

因此，小李的预算线如图所示，其斜率=-（l+r}=-1.25。

收入禀赋点为W 点（1000，1200）。

（2）把相关参数代入小李预算线方程

小李第1期边际效用为:

小李第2期边际效用为:

根据消费者效用最大化的条件

如图所示。

，可得。 可得:1.25C 1+C2=2450。 ； 。 ； 。 将上式代入预算线方程，可得:C 1=1568，C 2=490，小李的最优消费点为A 点（1568，490），

跨期预算约束与最优选择

（3）如果政府加征利息收入税，则此时小李的预算约束为:

代入有关参数可得预算约束方程:C 2=2200-C1。 把预算约束方程代入效用函数可得

效用最大化的一阶条件为:

求解可得:C 1=1760。

1760），将C 1=1760代入预算约束方程，可得:C 2=440。因此，消费者的最优选择点为B 点（440，

如图所示。

。