● 摘要
1998~年, 华盛顿大学~Bender C.M.~教授创立了,$mathcal{PT}$-,对称量子理论, 该理论具有真实的物理背景和意义, 得到了国内外学者的广泛关注. 本文首先介绍了,$mathcal{PT}$-,对称的基本思想, 然后运用算子代数和矩阵论的方法讨论了,$mathcal{PT}$-,对称的一些重要性质, 并给出了在,$mathcal{T}^{2}=1$,和,$mathcal{T}^{2}=-1$,两种时间演化下的,$mathcal{PT}$-,对称性和完整,$mathcal{PT}$- 对称性的非自伴哈密尔顿算符,$H$,的结构和性质, 以及对于具有,$mathcal{PT}$-,对称性的非自伴哈密尔顿算符,$H$, 如何构造合适的新内积, 进而得到新的~Hilbert~空间, 使得,$H$,在这个~Hilbert~空间中为一个自伴算子.本文分为四章, 具体结构如下:
第1章 主要介绍了本文研究背景意义和现状, 并引入了一些最基本的概念.
第2章 首先介绍了最基本的概念,$mathcal{PT}$-,偶框架和,$mathcal{PT}$-,对称性; 其次引入了一些动量算符和乘法算子, 在本章的最后, 我们运用矩阵论的知识给出了在特定的空间变换和时间变换下具有,$mathcal{PT}$-,对称性的非自伴哈密尔顿算符,$H$,的结构和性质.
第3章 在这一部分, 我们首先介绍了一种新的时间反演变换,$mathcal{T}^{2}=-1$,和,$mathcal{PT}$-,奇框架; 随后, 在这种新的时间反演变换下, 我们定义了,$mathcal{PT}$-,对称, 并研究了它们的一些性质; 另外, 在这一章里, 我们还得到在这种新的时间反演变换下, 不能像,$mathcal{PT}$-,偶框架,那样定义完整,$mathcal{PT}$-,对称性.
第4章 在这一部分, 我们首先介绍了,$mathcal{PT}$-,奇框架下,$H$,的完整,$mathcal{PT}$-,对称性的定义并讨论了其特征值, 随后我们给出了两种时间反演变换下,$mathcal{PT}$-,内积和,$mathcal{CPT}$-内积的定义并讨论了其性质, 最后给出了两个例子.