2018年广州大学数学与信息科学学院834微积分与线性代数之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足
AB=£
；的所有矩阵为其中为任意常数.
2
． 求个齐次线件JTP 技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组
的基础解系为
3．
设二
次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由
为标准形
，并写出所用正交变换；
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
矩阵A 满足AB=0
, 其
中
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组
Ax=0的解向量
.
记
值（至少是二重）
，
根据值是0, 0, 6.
设有
对
正交化，令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵
A 的特征
故知矩阵A 有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
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再对
，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
于是
4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5． 设
证明向量组
与向量组
等价.
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