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北京理工大学95年数学分析

1. （10分）求极限

n n n +L +) 2222n →∞n 2+1n +2n +n

2. 设x= f (u , v) , y=g (u ,v) 具有二阶连续偏导数，并满足 lim (

∂f ∂g ∂f ∂g =, =−∂u ∂v ∂v ∂u

∂ω∂ω∂ω∂ω∂f ∂f 再设ω=ω（x , y ）, 2+2=(2+2)[() 2+() 2]∂u ∂v ∂x ∂y ∂u ∂v

3. （10分）设f (z ) 为连续函数，证明：

x 2+y 2+z 2≤112222 ∫∫∫f (z ) dxdydz =π∫

432−1f (z )(1−z 2) dz , 并用此证明：

x 2+y 2+z 2≤1（az ∫∫∫+bz +cz +dz +e ) dxdydz

其中a , b , c , d , e 是常数。

4.(10分) 求证4ax 3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根。

5.(15分)

6.

1 x x n （15分）证明：e −(1+) 在任意有穷区间[a , b ]上一致收敛，而在（−∞，+∞）∑ n n =1n

上不一致收敛。

7.(15分) 设f (x ) 在[a ,+∞ )上连续，g (x ) 在[a ,+∞) 上可导，且lim f (x ) =A , g (x ), g ′(x ) x →+∞+∞设J (α) =∫(1) 求J ′(α) +∞01−cos αx −2x dx , x (2) 计算J (α)

在[a ,+∞) 上有界。求证：f (x ) • g(x ) 在[a ,+∞) 上一致连续。

8 （15分）设f n (x ) 是[0,1]上的连续函数，对任意x ∈[0, 1],有f n (x ) ≥f n +1(x ) , n =1,2,3…并且f n (x ) 在[0,1]上收敛于f (x ) 。证明：f (x ) 在

[0,1]上达到最大值。

9 （15分）设f (x ) 和g (x ) 在(−∞,+∞) 上连续并且

lim f (x ) =A , lim g (x ) =B x →∞x →∞

求证： f (x ) • g(x ) 在(−∞,+∞) 上一致连续。