题目：一类非线性双曲型偏微分方程解性质的研究

在本文中我们主要考虑带有阻尼和散度项的非线性双曲型方程的初边值问题：εut + utt − Δu − αΔut + f(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0.初边值条件u(x, t)|t=0 = u0, ut(x, t)|t=0 = u1, x ∈ Ω和u(x, t)|@Ω = 0, t > 0在第一章中，给出了偏微分方程的研究背景和国内外学者关于该领域研究的一些非常关心的问题。对解的存在性，解的渐近性质，和解的爆破现象给予了解释说明。并列出了部分国内外学者研究的一些成果；在第二章中，列出了一些关于偏微分方程研究的常用知识，如常用的函数空间，不等式，基本引理，解的研究方法。这些知识作为基础知识，有助于我们进一步展开对偏微分方程的研究；在第三章中，主要分为了两个部分。对于第一部分，主要给出了波动方程的达朗贝尔公式关于非齐次项的验证，并利用达朗贝尔公式得到了解对初值的连续依赖性。对于广义解中，给出了怎样利用磨光算子对解的性质进行研究。关于第二部分，考虑了一类特殊的非线性双曲型偏微分方程。从三个方面研究了解的性质：（1）考虑方程解的存在性问题，利用Galerkin方法，首先得到解在不同空间下的不等式，然后利用Gronwall不等式，得到解的不同形式的能量估计，最后利用紧致性原理得到解整体存在性；（2）通过能量估计和Gronwall不等式，进一步研究解的长时间性质，得到解关于时间的一个渐近估计，及当时间t趋于无穷时， 解趋于0；（3）最后，给出关于非线性项f不同的假设，得到在Lp空间中，解在有限时间内爆破；在第四章中，列出了本文的主要结论，和进一步研究的问题。