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北京科技大学2004年硕士学位研究生

入学考试量子力学试题答案

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 物理常数：光速：c =2.998×108m ⋅s −1；普朗克常数：h =6.626×10−34J ⋅s ；玻尔兹曼常数：k B =1.381×10−23J /K ；电子质量：m e =9.109×10−31kg ；碳原子质量：m C =12u =2.007×10−26kg ；电子电荷：e =1.602×10−19C

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1） 物质波（30分）：1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、

质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________（10分）；假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________（10分，保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K 时，C 60团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_____________________________（10分，保留1位有效数字）。

：λ=解：德布洛意关系（10分）电子物质波波长：

h p

h −34

==≈1.0×10−10m λ==p C 60物质波波长：

λ=

2） −34==≈1.0×10−10m 薛定谔方程（40分）：质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所

⎧⎪0, x ∈(0, a ); y ∈(0, a ); z ∈(0, a )受势能V (x , y , z ) 由下式给出：V (x , y , z ) =⎨；（i ）⎪⎩∞, others

列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10分）；（ii ）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（15分，提示：电子自旋为1； （iii ）假设有，是费米子）