2018年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
2． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
则
即A
相似于矩阵
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或
1.
3． 设的所有矩阵.
【答案】（
1）对系数矩阵
A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=
£；
的所有矩阵为其中为任意常数
.
4． 设线性方程
m
【答案】对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换，
如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（
2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数.
此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5． 设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A 与
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
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