2018年安徽农业大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
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整理得
，
由线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
3．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
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当
时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为
：
将单位转化为：. 令X=Qy, 则
4． 已知
与
相似. 试求a , b
, c 及可逆矩阵P
，使
【答案
】由
于故
B 的
特征值为
从而B 可以对角化为
分别求
令
所对应的特征向量，
得
有即
a=5.
由
得A ，B 有相同特征值，
故
再由得
b=-2, c=2
，于是
分别求A
的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令记
有
. 因此
即
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