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一、论述题

1． 已知消费者对两种商品q 1、和q 2的效用函数为:

预算约束方程为:

其中，y 为消费者的收入; p 1、p 2分别为两种商品量q 1和q 2的市场价格。求证:在效用最大化条件下，消费者对这两种商品的需求函数分别为【答案】消费者效用最大化的一阶条件为:

其中， 和。

将边际效用函数代入一阶条件，可得:

将上式代入预算约束方程，可得:。

2． 假设线性齐次生产函数Q=f（L ，K ）具有规模报酬不变特征，试说明该生产函数具有如下特征:

【答案】生产函数Q=f（L ，K ）规模报酬不变，可得:

其中，，即

，代入

化简可得

资本边际产量为:。 ，代入，可得资本边际产量为: ，可得劳动边际产量为:

劳动的边际产量为:

所以可得:

即生产函数具有的特征。

3． 短期平均成本曲线和长期平均成本曲线都是U 形曲线的原因相同吗? 为什么由无数短期平均成本曲线推导出来的长期平均成本曲线必有一点也只有一点才和短期平均成本曲线相切?

【答案】（1）短期平均成本曲线和长期平均成本曲线都是U 形曲线，即随着产量增加，平均成本曲线先下降后上升。但是，两者形成U 形的原因是不同的。

①短期平均成本曲线之所以呈U 形，即短期成本曲线最初递减然后转入递增，是因为可变要素的边际报酬先递增后递减导致的。在短期生产中，边际产量的递增阶段对应的是边际成本的递减阶段，边际产量的递减阶段对应的是边际成本的递增阶段，与边际产量最大值相对应的是边际成本的最小值。因此，在边际报酬递减的规律下，短期平均成本表现出先降后升的U 型。

②长期平均成本曲线呈U 形是由规模经济或规模不经济决定的。随着产量的扩大，使用的厂房设备规模增大，因而产品的生产经历规模报酬递增的阶段，这表现为产品的单位成本随产量增加而递减。长期平均成本经历递减阶段以后，资本设备和专业化的利益已被全部利用，此时可能进入报酬不变（即平均成本固定小变）阶段，但由于企业管理这个生产要素不能像其他要素那样增加，因而随着企业规模的扩大，管理的困难和成本越来越大，如果再增加产量，长期平均成本最终转入递增阶段。

（2）长期平均成本曲线是短期平均成本曲线的包络线，其每一点总是与某一特定短期平均成本曲线相切，但它并非由所有短期平均成本曲线的最低点构成。事实上，在整个长期平均成本曲线上，只有最低点才和某一特定短期平均成本曲线的最低点相切，切线斜率为零。

在长期平均成本曲线最低点的左边，长期平均成本递减，长期平均成本曲线与短期平均成本曲线相切之点位于各短期平均成本曲线最低点的左边和上面，即该企业处于规模报酬递增阶段，切线斜率为负，从而切点不是短期平均成本曲线的最低点。

在长期平均成本曲线最低点的右边，长期平均成本递增，长期平均成本曲线与短期平均成本曲线相切之点位于各短期平均成本曲线最低点的右边和上面，即该企业处于规模报酬递减阶段，切线斜率为正，从而切点不是短期平均成本曲线的最低点。

因此，作为短期平均成本曲线包络线的长期平均成本曲线必有一点且只有一点与短期平均成本曲线的最低点相切。

二、计算题

4． 某企业以劳动L 及资本设备K 的投入来生产产品Q ，生产函数为:

企业劳动投入量短期及长期均可变动，而资本设备只能在长期条件下变动，劳动工资率w=100，资本报酬率γ=400。求:

（1）企业短期及长期总成本函数。

（2）Q=20时的最佳资本规模。

【答案】（1）由题意可得，短期内资本不变投入量为，此时生产函数为:

解得劳动的最优投入量为:

因此，企业的短期总成本为:

根据长期生产函数可得劳动和资本的边际产出分别为:

根据厂商选择最优的生产要素组合的原则即有

。 。

整理得:

将。 代入生产函数可得:。

。 解得劳动和资本的最优投入量分别为:

故企业的长期总成本为:

（2）当Q=20时，由（1）中长期最优资本投入量的方程：

模为：，解得最佳的资本规，又因为给定的条件中K ≥25，所以，当Q=20时的最佳资本规模K=25

5． 牧民A 和牧民B 在同一块地放牧。假设:如果这块地上有20头牛，每头牛终生可以产出4000元牛奶; 这块地上有30头牛时，每头牛终生可以产出3000元的牛奶; 有40头牛时，每头牛终生可以产出2000元的牛奶。牧民购买一头牛的成本为1000元。显然，如果在这块地上放牧更多的牛，每头牛能吃的草就少了，牛奶产量也就少了。

（1）设牧民A 和牧民B 每人可以买L=10头牛，也可以买L=20头牛。如果是一次性非合作博弈，计算并画出牧民A 和牧民B 的净得益矩阵图示。