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中国科学院--中国科学技术大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

科目: 线性代数与解析几何

注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.

一、填空(每空4分, 共48分)

设R^3中向量

(-1 ) ( 1 ) ( 1 )

α<1>＝ ( 1 ), α<2>＝ (-1 ), α<3>＝ ( 0 )

( 1 ) ( 0 ) (-1 )

(-4 ) ( 4 ) ( 4 )

β<1>＝ ( 3 ), β<2>＝ (-3 ), β<3>＝ ( 1 )

( 4 ) ( 0 ) (-4 )

(1) β<1>在基{α<1>,α<2>,α<3>}和基{β<1>,β<2>,β<3>}下的坐标分别是____ __和______.

(2) 从基{α<1>,α<2>,α<3>}到基{β<1>,β<2>,β<3>}的过渡矩阵是______.

又设R^3的线性变换A 使得A α<1>＝β<1>, Aα<2>＝β<2>, Aα<3>＝β<3>, 则

(3) A 在基{α<1>,α<2>,α<3>},{β<1>,β<2>,β<3>}和标准基

{( 1 ) ( 0 ) ( 0 )}

{( 0 ),( 1 ),( 0 )} 下的矩阵分别是______,______和______.

{( 0 ) ( 0 ) ( 1 )}

(4) A 的特征多项式是______,最小多项式是______,特征值是______.

(5) A 的不变因子是______,初等因子是______,若当标准型是______.

二、(12分)

求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的平面的方程, 以及过这三点的圆的方程.

三、(12分)

设A 是数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换.

∞ ∞

记V<1>=∪Ker A^i, V<2>=∩Im A^i.

i=0 i=0

证明:

(1) V<1>和V<2>是A 的不变子空间;

(2) V ＝V<1> ＋ V<2>.

四、(14分) n _ _