● 摘要
数理逻辑的特点在于形式化和符号化，它和计算数学有着截然不同的风格，前者注重形式推理而后者注重数值计算；前者强调严格论证而后者允许近似求解，如果说数理逻辑具有刻板的一丝不苟的形象，那么计算数学具有灵活的张弛有度的特征.一个自然的问题是：能不能把数值计算的思想融入到数理逻辑当中以使其具有某种灵活性从而扩大其可能的应用范围呢？回答是肯定的.王国俊教授从基本概念的程度化入手,建立了一种计量逻辑学$^{[4]}$,从而对上述问题给出了肯定的回答.
计量逻辑学所涉及的逻辑系统包括经典的二值命题逻辑系统~L,$L$ukasiewicz多值命题逻辑系统~$L_{n}$ 与~$L$uk 以及命题演算系统~$L^{*}$和~$L^{*}_{n}$等.文献$[4]$在二值命题逻辑中,将重言式概念进行了程度化,引入了公式的真度概念,在此基础之上将逻辑等价概念程度化,引入了公式之间的相似度概念;并从而在L的全体公式集F(S)上引入了伪距离,得到了逻辑度量空间(F(S),$
ho$),并证明了逻辑连接词$
ightharpoondown,
ightarrow$和$vee$等关于$
ho$的连续性.另一方面,二值命题逻辑中理论的发散性与相容性等逻辑性质与它们在空间(F(S),$
ho$)中的拓扑性质之间的联系如何?逻辑度量空间$(F(S),
ho)$自身的细致结构如何?关于这些深层次的问题尚未及讨论,本文就上述问题进行研究.得到了如下结果:
(1) 证明了F(S)中各理论的发散度充满了单位区间[0,1].
(2)证明了F(S)中一个逻辑闭理论$Gamma$是相容的当且仅当它在逻辑度量空间$(F(S),
ho)$中不包含任一半径小于1的圆,从而我们容易得到F(S)中一个逻辑闭理论$Gamma$是相容的当且仅当它在逻辑度量空间$(F(S),
ho)$中不含内点.
(3)证明了一个逻辑理论$Gamma$是全发散的当且仅当全体$Gamma$结论之集$D(Gamma)$在逻辑度量空间$(F(S),
ho)$中稠密.
(4)证明了任一有限理论$Gamma$的全体结论之集在逻辑度量空间$(F(S),
ho)$中是闭集,从而推出了任一有根逻辑闭理论在逻辑度量空间$(F(S),
ho)$中也为闭集.
(5)证明了逻辑度量空间$(F(S),
ho)$是零维空间,证明了$(F(S),
ho)$具有一种类似“樊畿”性质的“有限等球连通性”.即,对任一$varepsilon>0$,$(F(S),
ho)$中任两点可用有限多个具有相同半径的$varepsilon-$开球去连接.此外,本文还给出了逻辑度量空间$(F(S),
ho)$中任一球面公式真度值的分布以及任一逻辑闭理论的拓扑性质刻画.
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