2018年广州大学数学与信息科学学院834微积分与线性代数之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
设三维列向量组
为任意常数.
线性无关.
和向量组
线性表示；
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
（Ⅱ）
当
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
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【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组
使得
线性无关；
向量组
不全为0
,
不全为0.
记
和向量组向量
线性表示.
则
即存在非零列向量
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
所有非零解
_
t 为任
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
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对于矩阵
B ，
由
得
所以
得特征向量那么由
：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为0.
（Ⅲ）由
知
故
其矩阵A 各行元素之和均为0,
且满足
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形
，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若
A+kE:五正定，求k 的取值.
【答案】（Ⅰ）因为A
各行元素之和均为0
, 即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其中
4
． 已知三元二次型
芄中
不
可知-1是A 的特征值，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征
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