2018年河北省培养单位遗传与发育生物学研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
第 2 页，共 35 页
则既可由
线性表出，也可
于是
专注考研专业课13
年，提供海量考研优质文档！
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
3． 设
A 为
的解为【答案】由利用反证法，
假设以有
解矛盾，
故假设不成立，则
由.
4
．
设二次型
（1）证明二次型f 对应的矩阵为（2）若
【答案】（1
）由题意知，
记
得
有
有惟一解知
则方程组
.
即
即
可逆.
矩阵
且
其中
t 为任意常数.
有唯一解. 证明
：矩阵
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使.
所只有零
有非零解，
这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
正交且均为单位向量，
证明f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
第 3 页，共 35 页
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
二、计算题
5． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U ,
使处的值
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n
记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知 6．
设向量组线性表示.
【答案】方法一、
因为向量组使
按足标从大到小考察上式中系
数
.
此足标
全为零矛盾. 这时（1）式成为
于是上述向量即满足要求.
方法二、记
. 由题设，A 的列向量组线性相关，故
线性表示.
化成标准方程.
设是A 的行阶
因
能由
梯形，
则
中一定存在不含非零首元的列
7．
求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A
的特征值为
第 4 页，共 35 页
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
任取
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
记
证明存在某个向量
，使能由
，
线性相关，
且
线性相关，由定义知，
存在不全为零的数
，设其第一个不为零的数
为
由
知
. 也
即，
但
如若不然，
该式成为
，此与这些系数不
，
注意到的第1列是含非零首元的，
故
线性表示，故A
中对应的
也能由
相关内容
相关标签