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一、计算题

1． 制造半导体元件时，常需要精确地测定硅片上的二氧化硅3.42，

薄膜的厚度，这时可把二氧

化硅薄膜的一部分腐蚀掉，使它成为劈尖，利用等厚干涉条纹测出其厚度。已知Si 的折射率为

的折射率为1.5。用氦氖激光（λ=632.8 nm）垂直照射，在反射光中观察到在腐蚀区域

斜面转为平面处是亮纹。求

薄膜的厚度。

J 内有8条暗纹，且

图1

【答案】设反射光中第k 级亮条纹对应的膜厚为e , 则其光程差为：

配合图2可得，k=8

与

区范围内可有8条暗纹。

因此

，

薄膜的厚度为：

薄膜的均匀膜厚

相对应，从劈尖膜棱边的明条纹到最高处的亮

图2

2． 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动。棒的质量

长度

对轴的转动惯量

初始时棒静止。今有一水平运动的子弹垂直地射

速率

试问：

入棒的另一端，并留在棒中，如图所示。子弹的质量

（1）棒开始和子弹一起转动时角速度为多大？ （2）若棒转动时受到大小为

的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度？

图

【答案】（1）将棒和子弹看成一个系统，则在子弹入射到木棒过程中对0点力矩为零，可以得到角动量守恒：

所以

（2）对棒和子弹这个系统用定轴转动的转动定律可得：

3． 能量为

（1

）（2

）

的电子入射在高为

求电子穿透该势垒的概率各为多少? 比较（1）（2）的结果能得出什么启示。

的方势垒，如果势垒的宽度为

【答案】（1）隧道效应的贯穿系数

式中

，当（2

）当

为势垒的宽度。

时

，

时

，

结论：电子以相同的能量穿透高于自身能量的相同势垒的概率与势垒的宽度有关，当势垒宽度很大时，穿透 的概率趋于零。

4． —维无限深势阱中的粒子的波函数，在边界处为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波， 因而势阱宽度a 必须等于德布罗意半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式

【答案】

设势阱中粒子的德布罗意波波长为波长的整数倍，

即满足

又粒子的动量为

根据题意，

势阱宽度则粒子的能量

必须等于德布罗意半

5． 如电图1所示，一圆柱形区域内的匀强磁场B 随时间t 变化。在磁场区域内垂直于B 的Oxy 平面上有一光滑绝缘的细空心管MN ，它固定在x 轴上并相对y 轴对称。

其中光滑小球。

与

之间的夹角为

是磁场区域中央轴与xy 平面的交点。在管MN 内有一质量为m 、电量为q （q>0）的

时小球静止在M 位置。设B 的方向如电图1所示，其大小随t

的变化规律为

其中

和均为正的常量。设B 的这种变化规律刚好能使小球在删之间以O 为中

与

之间的关系。

与小球位置x 之间的函数关系，

心、以MN 长度之半为振幅做简谐振动。

（1

）试确定小球简谐振动的圆频率

画出

（2）设MN 长为2R 。试求管MN 受到小球作用力的y

分量

曲线，并标出曲线上的特征点。

电图

1

电图2

【答案】如电图2所示，当小球在管中任意位置x 时，设该处的涡旋电场为E , 则

故