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江苏大学2004年硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效！ 共 2 页第 1 页

x

−α

一、[本题12分]计算行列式D n =−α

−ααx −α −α αα ααx αα之值。 −α −αx αα

⎛010 00⎞⎜⎟001 00⎜⎟

二、[本题12分]设n 阶矩阵A=⎜ ⎟， ⎜⎟⎜000 01⎟⎜100 00⎟⎝⎠

求：1）A 的特征多项式

2）A 的不变因子、行列式因子、初等因子

3）A 的Jordan 标准形

三、[本题12分]

1、 证明：α1, α2, , αs （其中α1≠0）线性相关 ⇔ 至少有一个αi （1

α1, α2, , αi −1线性表示。

2、证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充为该向量组的一个极大线性无关

组。

四、[本题12分]若设W=f (x ) f (1) =0, f (x ) ∈R [x ]n

（1） 试证：W 是R [x ]n 的子空间

（2） 求出W 的一组基及维数

五、[本题12分] {}

1、 设A 、B 均为n 阶矩阵，证明：如果AB=O，则秩(A)+秩(B)≤n 。

2、 设A 是一个n 阶矩阵，且秩(A)=r，证明：存在一个n 阶可逆矩阵P ，使PAP -1的

后n-r 行全为零。