● 摘要
本文中, 我们首先在随机赋范模的概念基础上提出了随机赋范代数的概念. 接着, 基于对随机赋范代数的层次结构分析, 提出了元素随机谱, 拟极大理想与可乘$L^{0}$-函数的概念, 并建立了随机谱半径公式以及拟极大理想集合与可乘$L^{0}$-函数集合之间的基本联系. 在此过程中, Banach代数一些著名的重要结果可被作为特殊情形得到；然后，利用已经建立的随机谱半径公式得到了单位的完备随机赋范代数中的Gleason-Kahane-.{Z}elazko定理. 从而给出了经典情形的一个随机推广. 之后，给出了元素$xy$ 和$yx$ 的随机谱的关系，并且利用此关系以及随机谱半径公式证明了单位的完备随机赋范代数中的Wintner定理. 从而也给出了经典情形的一个随机推广；最后，我们在完备随机赋范代数的概念基础上提出了随机C$^{*}$-代数的概念，在此框架下考虑了完备复随机内积模$S$上所有a.s. 有界随机线性算子形成的线性空间，记为$mathcal{B}(S)$，并且建立了$ ilde{I}_Acdotmathcal{B}(S)$ 和 $mathcal{B}( ilde{I}_Acdot S)$之间的关系. 同时，提出了随机线性算子a.s. 下有界的概念. 通过使用这个关系和随机线性算子a.s. 下有界建立了完备复随机内积模上自伴随机线性算子的两个随机谱定理. 本文分五章：第一章，简要介绍随机度量理论以及本文的主要研究内容；第二章，作为预备知识，回忆随机赋范空间，随机赋范模，随机共轭空间，随机内积模和随机线性算子等基本概念和本文将引用的重要结果；第三章，提出随机赋范代数，元素随机谱，拟极大理想与可乘$L^{0}$-函数的概念，建立随机谱半径公式以及拟极大理想集合与可乘$L^{0}$-函数集合之间的基本联系；第四章，建立完备随机赋范代数中的Gleason-Kahane-.{Z}elazko定理和Wintner定理；第五章，建立完备复随机内积模上自伴随机线性算子的两个随机谱定理.
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