2017年燕山大学理学院818量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
2． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
3． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
4． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。
（3）将体系的状态波函数
用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
其中是体系的哈密顿算符。
的几率是
得到结果在
范围内的几率是
得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
5． 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
6． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
问何为厄密算符？何为
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
7． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
8． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
它的本征值表示粒子在
|
处
9． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为
其中
10．简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
二、计算题
11．粒子在二维无限深势阱中运动
，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰
的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。
【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。
（2）基态的一级能量修正
在计算第一激发态能级的一级修正时，由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令
则可计算出微扰
所以微扰可表示成
的矩阵表达式
所以
则
得：
12．Q 表缘的基矢有两个：
算符有如下性质：
（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为
求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.
【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元
.