2018年仲恺农业工程学院种质资源保护与利用314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
3．
设
为三维单位列向量，并且
记
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0
且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组
Ax=0有非零解； （Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故
Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量.
又且另外，由
故可知
为A 的特征值，
为4的2重特征值，
为对应的特征向量.
为
A 的3个
为
4的单重特征值.
故
A 有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A
为
3阶方阵
，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
4． 已知实二次型
则
即
A
相似于矩阵
的矩阵A ，满足且其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形；
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（Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值
满足
即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型