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广西民族大学2008年硕士研究生入学考试试题

（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）

学科专业：基础数学、计算数学、应用数学 研究方向：

考试科目： 高等代数 试卷代号： A卷 一(15分)、若f (x),g(x)不全为零,且u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)),则(u(x),v(x))=1

⎛2

⎜0⎜二（15分）、计算n 阶行列式⎜#

⎜0⎜⎜⎝330" 00⎞23" 00⎟⎟####⎟ 00" 23⎟⎟00" 02⎟⎠

⎧(a+3)x 1+x 2+2x 3=a ⎪三(20分)、求解方程组⎨ax 1+(a−1)x 2+x 3=2a

⎪3(a+1)x +ax +(a+3)x =3⎩123

四(15分)、设向量β可由α1, α2, " , αs 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是

α1, α2, " , αs 线性无关。

五(15分)、设f (x1, " , x n ) =X ' AX 是一实二次型，若有实n 维向量X 1, X 2使得' ' X 1AX 1>0，X '

2AX 2<0。证明存在非零实n 维向量X 3使得X 3AX 3=0。

六(15分)、求由向量αi 生成的子空间与由向量βi 生成的子空间的交的基和维数， 设 ⎧α1=(1,2,1,0) ⎧β1=(2,−1,0,1) , ⎨⎨α=−β=−(1,1,1,1) (1,1,3,7) ⎩2⎩2

七(20分)、设ε1, ε2, ε3, ε4是四维线性空间V 的一组基， 已知线性变换f 在这组基下的

矩阵为

⎛1

⎜−1⎜⎜1

⎜⎝2

022221⎞13⎟⎟ 55⎟1−2⎟⎠

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