题目：R^2上的一个椭圆方程的解的渐近性质

黎曼几何中的一个基本问题是：一个给定的微分流形上可以有怎样的曲率？在2维光滑流形 上，本质上唯一的曲率就是高斯曲率，问题就变为 上可以存在怎样的高斯曲率函数.已知一个2维黎曼流形 ，在 上已知存在黎曼度量g，由它决定的高斯曲率记为k, 那么这个问题就变成了任给 上的光滑函数K，问是否存在与 保角的度量 , 使得 的高斯曲率是 .假设 ，由 定理，则上述问题可等价于在 上求解椭圆方程 其中 ， 分别是 的拉普拉斯算子及高斯曲率.特别地，当 为 , 时，此时方程变为： 已经有作者证明了当 时，方程 存在一个 解 .本文主要讨论此解在 边界附近的渐近性质.通过适当选取 的保角度量 ，利用 在 上的整体可积性，平行地证明了类似于紧流形上的 嵌入定理，运用嵌入定理证明了经过代换后的方程解的有界性，从而得到原方程解 的渐近性质.