● 摘要
在实际工程中有很多系统都可以抽象成非光滑多刚体系统，利用非光滑多刚体系统动力学的知识可以既简单又准确的描述和处理这些问题。这其中有很多问题涉及到使用者希望系统能实现一个预期的目标，而这个目标的实现和系统的初始状态有很大的关系，因此研究如何确定非光滑多体系统的可行初值域具有很重要的理论和实际意义。本文研究了非光滑多体系统末状态对初值的连续依赖性，在此基础上给出了对初值的遍历算法并提出了改进的遍历算法以减小计算量。本文所做的工作主要分为以下几个方面：(1) 调研了非光滑多体系统动力学的发展和研究现状。多体系统动力学的发展包括理论，建模，数值方法等多方面。理论方面由于凸分析的引入使得对非光滑多体系统可以用更一般的语言来进行描述，建模方面基于不同的碰撞系数的定义产生了一系列不同的碰撞模型。数值方面则发展出了多种事件驱动和time stepping计算格式。(2) 系统从每个初状态出发都会到达某一末状态，基于此我们可以定义一个从初值域到末状态空间的映射并通过研究这个映射的连续性来研究多体系统末状态对初值的连续依赖性。映射的过程是通过一系列由微分代数方程控制的过程和方程切换时可能产生的碰撞过程来达到的。由于其后的讨论中需要将微分代数方程化为常微分方程，因此这里还介绍了将微分代数方程化为常微分方程的增广法和缩并法。(3) 利用常微分方程理论中解的存在唯一性和对初值的连续依赖性条件我们可以给出在由某一个微分代数方程控制的阶段系统末状态对初状态连续依赖所需的条件。而对于碰撞过程，当碰撞面光滑且碰撞是单点碰撞时，系统状态从初状前到碰撞后的映射是连续的，但当发生多点同时碰撞或与约束面擦边而过时，系统末状态对初状态有可能不是连续依赖的，为此我们退而求其次，给出了末状态对初状态几乎处处连续依赖的一个充分条件。(4) 基于系统末状态对初状态的连续依赖性，我们可以通过对初值域进行遍历来求出可行的初值范围。利用类似于二分法的思想我们又对遍历算法做了改进，使得遍历时可行初值域的边界区域遍历步长很小而离边界较远的地区遍历步长较大从而使我们能够用较少的计算量就确定出可行初值域范围。最后给出了一个算例来说明该算法的特点。关键词：初值，连续依赖，遍历，算法