● 摘要
曲线是计算机视觉和模式识别中重要的研究对象. 尤其是在欧几里得，仿射以及投影变换下两条曲线是否等价已成为近年来研究的热点问题. 如果两条曲线等价，那么它们在相应的变换下具有相同的签名曲线.
文中给出了在仿射变换下微分不变量和积分不变量的构造算法. 在微分不变量的构造中使用了规范化的活动标架方法以及递推公式构造法，并给出了计算无穷小生成子和高阶微分不变量的Maple软件包. 在积分不变量的构造算法中，通过活动标架的归纳构造法，不仅求出了2D-曲线的仿射积分不变量，而且给出了积分不变量I1的几何解释. 相对于微分不变量，积分不变量在处理曲线分类方面减弱了噪声的影响，在计算视觉的应用中具有显著的优势. 文中使用仿射变换下的积分不变量构造了两类典型的签名曲线：全局积分签名曲线和局部积分签名曲线. 全局积分签名曲线不依赖于曲线的再参数化，却依赖于初始点的选择，它不能比较曲线的局部轮廓；局部积分签名曲线既不依赖于曲线的再参数化也不依赖于初始点的选择，常常用来解决曲线的局部等价问题.
本文的主要内容包括以下几部分：
第一章主要包括两部分，第一部分叙述了微分不变量、联合不变量等在处理曲线分类问题中存在的不足，而积分不变量可以降低对噪声的敏感程度. 第二部分介绍了对基于不同不变量下的签名曲线的研究情况，并由两条曲线等价，那么它们必有相同的签名曲线. 最后比较了全局积分签名曲线和局部积分签名曲线.
第二章中主要研究了构造不变量相关的基础知识，比如流形、群作用、半直积等概念和定理.
第三章首先研究了活动标架的概念. 接着通过三维空间上的旋转变换详细阐明了活动标架的构造过程. 最后研究了活动标架构造微分不变量的基本方法，并且使用无穷小生成子和不变量的递推公式求出了高阶微分不变量.
第四章应用活动标架法构造了2D-曲线仿射变换下的积分不变量，通过对活动标架法的改进，使用活动标架的归纳法构造了积分不变量. 运用该方法求出了2D-曲线的积分不变量，并给出了不变量I1的几何解释. 定义了全局积分签名曲线和局部积分签名曲线，使用积分不变量构造了全局积分签名曲线和局部积分签名曲线. 在本章的最后通过实例画出了2D-曲线的签名曲线.
在结论部分总结论文的内容，并对将来的工作做了设想.