苏州大学数学分析历年真题汇编考研真题
● 摘要
05数分答案
2证明:反证法, 假设f (x ) 在[0,1]上有无穷多个零点, 不妨设{x n }⊂[0,1], f (x n ) =0, n =1, 2, L , 则存在一个
' {x n }的子列{x }n k 使得f (x n k ) −f (x 0) f (x ) −f (x 0) x n k →x 0(k →+∞) , 且f (x n k ) =0, f (x 0) =lim =lim =0x →x 0x →x 0x −x 0x −x 0
与题设条件矛盾, 故f (x ) 在[0,1]上只有有限个零点.
3证明:1).由条件2) f (x ) −f (y ) ≤L x −y 则∀ε>0, ∃δ=ε∀x , y ∈R , x −y <δ有L
f (x ) −f (y ) ≤L x −y ≤L . ε=ε故f (x ) 在R 上一致连续当然在R 上连续. L
2).令f (x M ) =max f (x ) , Q x ∈[0,2π]∫2π0f (x ) dx =0, 由于积分中值定理得存在
x 0∈[0, 2π], ∫2π
0f (x ) dx =f (x 0)2π∴f (x 0) =1
2π∫2π
0f (x ) dx =0讨论
a) 当x M =x 0时, f (x M ) =f (x 0) =0当然有max f (x ) =0≤πL x ∈[0,2π]
b) 当x M >x 0, 由f (x ) 的周期, 得
2f (x 0) −f (x M ) =f (x M ) −f (x 0) +f (x 0+2π) −f (x M ) ≤L (x 0−x M ) +L (x 0+2π−x M ) =2πL c) x M 2f (x 0) −f (x ) =f (x M ) −f (x 0) +f (x M +2π) −f (x 0) ≤L (x 0−x M ) +L (x M +2π−x 0) =2πL 综合a)b)c) 结论可得. 4解:作极坐标变换x =r cos θ, y =r sin θ, ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u =+=cos θ+sin θ ① ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u =+=(−r sin θ) +r cos θ ② ∂θ∂x ∂θ∂y ∂θ∂x ∂y 由① ②可得∂u ∂u ∂u =?, =? , 然后代入就得=0 ∂x ∂y ∂θ