题目：一个半线性椭圆方程的存在性结果

黎曼几何中的一个基本问题是：一个给定的微分流形上可以有怎样的曲率？在2维光滑流形M上,本质上唯一的曲率就是高斯曲率,问题就变为M上可以存在怎样的高斯曲率函数. 已知一个2维黎曼流形(M,g)，由它决定的高斯曲率记为k,那么这个问题就变成了任给M上的光滑函数K，问是否存在与g保角的度量g1, 使得g1的高斯曲率是K. 假设g1=e^(2u)g，则上述问题可等价于在(M,g)上求椭圆方程 △u-k+K(x)e^(2u)=0， (1.1)其中△,k分别是(M,g)的拉普拉斯算子及高斯曲率. 特别地，当M为R^2,g=(δij)时，此时方程变为： △u+K(x)e^(2u)=0. (1.2) 在[32]中，已经证明对于某个常数C>0,00,00,σ>0时，结论仍然成立。